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Matemáticas:
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Leer que es un ángulo y uso del transportador.
Ángulos.
Ángulos
Ángulo es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado vértice.
Las semirrectas se llaman lados. Uno es el lado inicial y otro el lado final.
Un ángulo se puede designar de tres maneras:
- Con tres letras mayúsculas. Se colocan en los lados y en el vértice. Al leer el ángulo, la letra que le corresponde al vértice queda siempre en medio de las otras dos.
- Con una sola letra mayúscula. La letra se escribe fuera del vértice .
- Con una letra minúscula, frecuentemente griega, que se escribe dentro del ángulo y cerca del vértice. Esta forma se utiliza para evitar confusiones en casos en que dos o más ángulos tienen el vértice común.
La palabra ángulo a veces se sustituye por una abertura pequeña que se pone antes de las letras mayúsculas, o arriba de éstas.
Medida de un ángulo
Para medir un ángulo se usa como unidad un ángulo que mide un grado.
Imagina que la circunferencia se divide en 360 partes iguales. Si desde el centro se trazan radios a cada uno de los puntos de la división, se forman 360 ángulos iguales, siendo cada uno de ellos, un ángulo de un grado. Este grado se llama grado sexagesimal.
Para saber el valor de un ángulo cualquiera hay que determinar el número de grados que gira la semirrecta que lo genera.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos es el transportador. El más usual tiene forma de semicírculo.
Antes de usar un transportador, es indispensable localizar su centro. Se encuentra en el punto medio de la recta o diámetro que va de del cero de la escala a la división 180°. No siempre coincide el diámetro con el borde de los transportadores.
Para medir un ángulo cualquiera, se coloca el centro del transportador en el vértice del ángulo, y el diámetro se hace coincidir con uno de los lados.
Si el transportador es demasiado grande para la medición de un ángulo, se prolongan los lados de éste.
La mayoría de los transportadores tienen dos escalas marcadas de 10° en 10°, que parten de los extremos del mismo.
De este modo se puede medir un ángulo a partir de cualquiera de los extremos del transportador.
Para trazar un ángulo, el transportador se coloca de la misma forma que para la medición y se cuentan los grados a partir del lado inicial. Después se hace una marca en el papel, para señalar la abertura necesaria por la cual pasará el lado final.
Cómo trazar un ángulo
Cómo medir un ángulo
Clasificación de ángulos por su medida
Los ángulos pueden ser:
- Recto. Es el ángulo que mide 90°. Sus lados son perpendiculares. Equivale a una amplitud o rotación de un cuarto de vuelta. A veces para indicar en el trazo que un ángulo es recto, se usa un cuadrito que se coloca en el vértice.
- Agudo. Mide menos de 90°.
- Obtuso. Mide más de 90° y menos de 180°. Equivale a una rotación mayor que el cuarto de vuelta y menor que media vuelta.
- Llano. Mide 180°. Equivale exactamente a una rotación de la mitad de la vuelta. Sus lados están en una misma línea recta (un lado es la prolongación del otro).
- Cóncavo. Mide más de 180°.
- Ángulo entero o completo. Mide 360°
Clasificación de ángulos por su posición
Ángulos adyacentes. Se forman con un lado común y los otros dos lados pertenecen a la misma recta. En la imagen observamos los ángulos AOB y BOC. El lado que pertenece a los dos ángulos es BO y los lados que pertenecen a la misma recta son CO y AO.
- Ángulos consecutivos. Son consecutivos si tienen un lado común que separa a los otros dos lados.
- Ángulos opuestos por el vértice. Son dos ángulos en los cuales los lados de uno se forman con las prolongaciones de los lados del otro.
Clasificación de ángulos por su suma
- Ángulos complementarios. Son dos ángulos que sumados forman un ángulo recto, es decir,
juntos suman 90°.
- Ángulos suplementarios. Son los que sumados forman un ángulo llano, es decir, que juntos suman 180°.
Uso del transportador
En este ejercicio vas a trazar y a medir ángulos con un transportador elaborado por ti.
En una hoja de papel transparente, traza una circunferencia grande, recorta el círculo que se formó y dóblalo en cuatro partes iguales (marcarás con color rojo las líneas que resultan de los dobleces, son cuatro ángulos rectos, ya que miden 90° cada uno). Después divide cada cuarto en tres partes iguales (serán doce partes en total y cada una medirá 30°, ya que el ángulo de 90° lo estás dividiendo en tres ángulos iguales). Marca las tres líneas que quedan en cada ángulo recto con azul.
En tu cuaderno, y utilizando el transportador que construiste anteriormente, traza los ángulos de igual medida que aparecen en la siguiente imagen.
Coloca 0° en los dos extremos de uno de los diámetros. Esto te va a servir más adelante, cuando midas los diferentes ángulos de la imagen.
Inicia con el ángulo A. Pon encima del ángulo, el transportador que construiste, de manera que el centro del transportador coincida con el vértice del ángulo y uno de sus lados coincida con 0°. Marca los doceavos con los que coinciden los lados. Ésta es la medida del ángulo.
Después trázalo en tu cuaderno. En la imagen sólo se marcan los puntos de los extremos de los lados del ángulo. Traza los lados para que se forme el ángulo.
Pasa al ángulo B. Sobrepón el transportador de papel. Es un ángulo que se pasa de dos ángulos de 90° (180°). Coloca el transportador un poco inclinado hacia la izquierda. Recuerda hacer que coincida el centro del transportador con el vértice del ángulo y un lado con 0°, en este caso, el lado derecho. Toma la medida.
Ahora trázalo en tu cuaderno. Recuerda que en la imagen sólo se marcan los puntos de los extremos de los lados del ángulo. Traza los lados para formar el ángulo.
Para medir el ángulo C puedes utilizar el transportador iniciando la medición con 0° del lado izquierdo de tu transportador. Ubica el centro en el vértice del ángulo y 0° en un lado del ángulo, en este caso, la línea del lado izquierdo del ángulo. Mide.
En una hoja de papel transparente, traza una circunferencia grande, recorta el círculo que se formó y dóblalo en cuatro partes iguales (marcarás con color rojo las líneas que resultan de los dobleces, son cuatro ángulos rectos, ya que miden 90° cada uno). Después divide cada cuarto en tres partes iguales (serán doce partes en total y cada una medirá 30°, ya que el ángulo de 90° lo estás dividiendo en tres ángulos iguales). Marca las tres líneas que quedan en cada ángulo recto con azul.
En tu cuaderno, y utilizando el transportador que construiste anteriormente, traza los ángulos de igual medida que aparecen en la siguiente imagen.
Coloca 0° en los dos extremos de uno de los diámetros. Esto te va a servir más adelante, cuando midas los diferentes ángulos de la imagen.
Inicia con el ángulo A. Pon encima del ángulo, el transportador que construiste, de manera que el centro del transportador coincida con el vértice del ángulo y uno de sus lados coincida con 0°. Marca los doceavos con los que coinciden los lados. Ésta es la medida del ángulo.
Después trázalo en tu cuaderno. En la imagen sólo se marcan los puntos de los extremos de los lados del ángulo. Traza los lados para que se forme el ángulo.
Pasa al ángulo B. Sobrepón el transportador de papel. Es un ángulo que se pasa de dos ángulos de 90° (180°). Coloca el transportador un poco inclinado hacia la izquierda. Recuerda hacer que coincida el centro del transportador con el vértice del ángulo y un lado con 0°, en este caso, el lado derecho. Toma la medida.
Ahora trázalo en tu cuaderno. Recuerda que en la imagen sólo se marcan los puntos de los extremos de los lados del ángulo. Traza los lados para formar el ángulo.
Para medir el ángulo C puedes utilizar el transportador iniciando la medición con 0° del lado izquierdo de tu transportador. Ubica el centro en el vértice del ángulo y 0° en un lado del ángulo, en este caso, la línea del lado izquierdo del ángulo. Mide.
Traza en tu cuaderno el ángulo.
Para medir el ángulo D, inclina un poco el transportador hacia la izquierda hasta que coincida el cero con el lado inferior del ángulo y el vértice con el centro del transportador. Observa cuánto mide.
Reprodúcelo en tu cuaderno.
El ángulo E es un ángulo que pasa de 180° (la medida de dos ángulos de 90°). Su abertura está hacia abajo, por ello te conviene inclinar un poco tu transportador hacia la izquierda e iniciar la medición desde el 0° de la izquierda hacia abajo y hacia la derecha. Calcula la medida.
Trázalo en tu cuaderno.
La figura F está integrada por dos ángulos que tienen un lado común. Fíjate que los otros dos lados pertenecen a una misma recta. Coloca tu transportador un poco inclinado haciendo que coincida el diámetro 0°, 0° con un lado de cada ángulo, en este caso, el lado que pertenece a los dos ángulos. Toma la medida del ángulo que queda arriba del diámetro (el más grande), del 0° de la derecha hacia arriba y hacia la izquierda.
Toma la medida del ángulo que queda abajo del diámetro (el más pequeño), del 0° de la derecha hacia abajo y hacia la izquierda.
Después trázalos en tu cuaderno.
Juntos, estos ángulos miden 180° y se les llama ángulos adyacentes (se forman de manera que un lado es común y los otros dos pertenecen a la misma recta).
Si prolongas los lados de cualquier ángulo, la medida se mantiene, ya que las prolongaciones de sus lados mantienen la misma dirección.
Este ejercicio te sirve de base para identificar los elementos del transportador geométrico y la forma en la que se utilizan.
Si quieres saber más acerca de este tema, haz clic en las siguientes ligas.
Instrumentos geométricos
El ángulo E es un ángulo que pasa de 180° (la medida de dos ángulos de 90°). Su abertura está hacia abajo, por ello te conviene inclinar un poco tu transportador hacia la izquierda e iniciar la medición desde el 0° de la izquierda hacia abajo y hacia la derecha. Calcula la medida.
Trázalo en tu cuaderno.
La figura F está integrada por dos ángulos que tienen un lado común. Fíjate que los otros dos lados pertenecen a una misma recta. Coloca tu transportador un poco inclinado haciendo que coincida el diámetro 0°, 0° con un lado de cada ángulo, en este caso, el lado que pertenece a los dos ángulos. Toma la medida del ángulo que queda arriba del diámetro (el más grande), del 0° de la derecha hacia arriba y hacia la izquierda.
Toma la medida del ángulo que queda abajo del diámetro (el más pequeño), del 0° de la derecha hacia abajo y hacia la izquierda.
Después trázalos en tu cuaderno.
Juntos, estos ángulos miden 180° y se les llama ángulos adyacentes (se forman de manera que un lado es común y los otros dos pertenecen a la misma recta).
Si prolongas los lados de cualquier ángulo, la medida se mantiene, ya que las prolongaciones de sus lados mantienen la misma dirección.
Este ejercicio te sirve de base para identificar los elementos del transportador geométrico y la forma en la que se utilizan.
Si quieres saber más acerca de este tema, haz clic en las siguientes ligas.
Instrumentos geométricos
Trazo de ángulos con instrumentos geométricos
Utiliza regla y transportador
Apoyándote en una regla, traza la semirrecta que será el lado inicial del ángulo
Identifica el centro del transportador, el cero de la escala y el origen de la semirrecta que es el lado inicial del ángulo.
Coloca el transportador sobre la línea, haciendo que coincida el inicio de la semirrecta con el centro del transportador y el otro extremo, con el cero de la escala.
Con ayuda de una regla y partiendo del origen de la semirrecta original del ángulo y del centro del transportador, ubica los grados que va a medir el ángulo en la escala interior del transportador y marca un punto al margen del transportador. Ejemplo 60 °
Retira el transportador y con ayuda de la regla, traza la semirrecta final del ángulo haciendo que coincida el origen de la semirrecta inicial del ángulo con el punto que trazaste con tu lápiz. Dale la medida necesaria, el punto sólo es la referencia.
Haz trazado un ángulo de 60°
Ejemplos de trazos de ángulos utilizando la escala interior y la escala exterior del transportador.
Giros con el transportador
Pequeños giros
Un ejercicio más de trazo de ángulos.
Abre tu compás con una medida mayor de 6 cm, será la medida del radio de un círculo.
Con esa abertura del compás, traza un círculo en una hoja de papel.
Recorta el círculo y dóblalo en cuatro partes igual (a la mitad, y luego otra vez a la mitad). Repasa las líneas del doblez con color rojo (son cuatro ángulos de 90° y cada uno de ellos representa un cuarto del giro completo). El giro completo corresponde a toda la circunferencia.
Recorta el círculo sobre las cuatro líneas rojas. Te quedarán los cuatro cuartos separados.
Dobla cada cuarto en tres partes iguales y remarca las líneas del doblez con azul (como estás dividiendo 90° en tres partes iguales, cada una de ellas representa un ángulo de 30° y un doceavo del giro completo).
Divide cada tercio del cuarto, en tres partes iguales (te deben de quedar nueve partes iguales en cada cuarto). Marca cada línea del doblez con color verde. Como dividiste 30° en tres partes iguales, cada parte representa un ángulo de 10° y un treinta y seisavo del giro completo.
Si realizas las actividades anteriores en un círculo más pequeño o más grande, las medidas de las fracciones no cambian, ya que la dirección de los lados de las fracciones se mantiene igual (al prolongarlos no cambian de dirección).
Divide en 10 partes iguales, cada una de las nueve partes que hay en un cuarto. Si cada una de esas nueve partes equivale a 10°, al dividirla en 10 partes iguales, cada fracción medirá un grado y tendrás los 90° en un cuarto.
Une nuevamente los cuatro cuartos por las líneas rojas. Date cuenta que en cada cuarto hay 90 °, por lo que al formar otra vez el círculo, tendrás trescientas sesenta partes iguales. Estas 360 partes representan a los 360° en los que se divide la circunferencia.
Si comparas el resultado de este ejercicio con un transportador, podrás darte cuenta que los grados que marcaste corresponden a los grados de las dos escalas que tiene graduadas.
Abre tu compás con una medida mayor de 6 cm, será la medida del radio de un círculo.
Con esa abertura del compás, traza un círculo en una hoja de papel.
Recorta el círculo y dóblalo en cuatro partes igual (a la mitad, y luego otra vez a la mitad). Repasa las líneas del doblez con color rojo (son cuatro ángulos de 90° y cada uno de ellos representa un cuarto del giro completo). El giro completo corresponde a toda la circunferencia.
Recorta el círculo sobre las cuatro líneas rojas. Te quedarán los cuatro cuartos separados.
Dobla cada cuarto en tres partes iguales y remarca las líneas del doblez con azul (como estás dividiendo 90° en tres partes iguales, cada una de ellas representa un ángulo de 30° y un doceavo del giro completo).
Divide cada tercio del cuarto, en tres partes iguales (te deben de quedar nueve partes iguales en cada cuarto). Marca cada línea del doblez con color verde. Como dividiste 30° en tres partes iguales, cada parte representa un ángulo de 10° y un treinta y seisavo del giro completo.
Si realizas las actividades anteriores en un círculo más pequeño o más grande, las medidas de las fracciones no cambian, ya que la dirección de los lados de las fracciones se mantiene igual (al prolongarlos no cambian de dirección).
Divide en 10 partes iguales, cada una de las nueve partes que hay en un cuarto. Si cada una de esas nueve partes equivale a 10°, al dividirla en 10 partes iguales, cada fracción medirá un grado y tendrás los 90° en un cuarto.
Une nuevamente los cuatro cuartos por las líneas rojas. Date cuenta que en cada cuarto hay 90 °, por lo que al formar otra vez el círculo, tendrás trescientas sesenta partes iguales. Estas 360 partes representan a los 360° en los que se divide la circunferencia.
Si comparas el resultado de este ejercicio con un transportador, podrás darte cuenta que los grados que marcaste corresponden a los grados de las dos escalas que tiene graduadas.
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