Grado noveno

Introducción a los números complejos o imaginarios

En esta página vamos a ver qué son los números complejos o imaginarios y el porqué de su existencia en las matemáticas. A lo largo de la página, proponemos y resolvemos 4 problemas.

Índice de contenidos:

1.   El número i

2.   Definición de los números complejos

3.   Representación de los complejos

Otros temas de números complejos:

• Módulo y argumento de un complejo
• Operaciones entre números complejos
• Formas binómica, polar y trigonométrica
• Calculadora de operaciones entre complejos en forma binómica

1. El número i

Recordar que b es una raíz cuadrada del número a si su cuadrado es a. Es decir, b=√a si b²=a. Pero sabemos que cualquier número real al cuadrado es mayor o igual que 0, es decir,

Esto implica que la raíz cuadrada de un número negativo no existe. Por ejemplo, si b=√−2, entonces b²=−2, pero hemos dicho que el cuadrado de un número real no puede ser negativo.

Sin embargo, cualquiera que haya trabajado con ecuaciones cuadráticas (o de segundo grado), sabe que encontrarse con raíces de números negativos es muy habitual. Por esta razón, los matemáticos inventaron números que no son reales y cuyo cuadrado puede ser un número negativo.

Se define la unidad imaginaria i como la raíz cuadrada del número real negativo −1:

Ahora ya podemos calcular raíces cuadradas de números negativos.

Ejemplos

Problema 1

Calcular las raíces cuadradas de −25,  −16 y −18.

Solución

2. Definición de los números complejos

Ahora que ya sabemos qué es la unidad imaginaria (es decir, i), vamos a definir los números complejos (en su forma binómica).

Un número complejo, z, es la suma de un número real a más un número real b multiplicado por la unidad imaginaria i:

El número real a se llama parte real del complejo z y el número real b se llama parte imaginaria de z.

El conjunto de todos los números se representa por C.

Nota: la suma  a+b·i no la podemos simplificar, al igual que no podemos simplificar la expresión algebraica 1+x.

Problema 2

Determinar la parte real y la parte imaginaria de los siguientes números complejos:

Solución

Problema 3

Deducir la relación existente entre los números reales R y los números complejos C.

Solución

3. Representación de los números complejos

La forma habitual de representar a los números complejos es hacerlo como vectores del plano. Pero el plano se denomina, en este caso, plano complejo.

El complejo z=a+bi se representa como el vector con coordenadas (a,b):

• El eje horizontal es el eje real.
• El eje vertical es el eje imaginario.

La longitud del vector se denomina módulo del complejo z.

El ángulo que forma el vector con la parte positiva del eje real se denomina argumento del complejo z:

Más información: módulo y argumento de un complejo.

Problema 4

Representar los siguientes números imaginarios:

Solución

Más información y problemas resueltos de números complejos:

• Producto y cociente en forma binómica
• Producto y cociente en forma polar
• Propiedades básicas de los números complejos
• Raíces de números complejos

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Problemas y Ecuaciones 

1. Conceptos básicos

La unidad imaginaria i representa a la raíz √−1 y, por tanto, sus primeras potencias son

Un numero complejo z se define (en su forma binomica) como z=a+bi, si  z=a+b·i, siendo a y b números reales.

La parte real de z es a y la parte imaginaria es b.

2. Suma y resta de complejos

La suma y la resta de dos complejos se definen como

Es decir, la suma (resta) se calcula sumando (restando) las partes reales y las partes imaginarias.

El producto de un real α por un complejo z=a+bi es el complejo

Nota técnica: en realidad, si tenemos en cuenta que los reales son complejos con parte imaginaria igual a 0, este producto es una consecuencia de la definición del producto de dos complejos.

3. Producto de complejos

Sean los complejos z₁ =a+bi y z₂=c+di. Entonces, su producto es

El producto es conmutativo y asociativo.

4. Inverso y cociente de complejos

Inverso:

El inverso de un complejo  z^-1=a+bi≠0 se define como